同値変形の⇔をなんとなく使っていませんか？同値変形が成立しない罠が受験数学にはたくさん仕掛けられています。日ごろ５つのワナを意識して問題演習に取り組むようにしましょう！

１．等式、不等式の両辺を２乗するときの罠

等式、不等式は２乗すると同値性が崩れます！

〇： ｘ＝ｙ　⇒　ｘ²＝ｙ²　

✕：　ｘ²＝ｙ²　⇒　ｘ＝ｙ　①

✕：　ｘ＞ｙ　⇒　ｘ² ＞ｙ²　②

✕：　ｘ² ＞ｙ²　⇒　ｘ＞ｙ　③

①②③については図を描いてそれぞれの領域を確認してみましょう。

２．分数の処理の罠（１）

✕：a / b = c ⇔　a = bc

〇：a / b = c ⇔ a = bc かつ b ≠ 0　

３．分数の処理の罠（２）

特に③④は b ≠ 0を付けるのを忘れないようにしましょう。

〇　a / b > 0 ⇔　ab > 0 ①

〇　a / b < 0 ⇔ ab < 0　②

〇　a / b ≧ 0 ⇔　ab ≧ 0 かつ b ≠ 0　③

〇　a / b ≦ 0 ⇔ ab ≦ 0 かつ b ≠ 0　④

４．絶対値の処理の罠

｜a｜=k ⇔　a = ± k かつ k ≧ 0

｜a｜< k ⇔　-k < a < k

｜a｜> k ⇔　-k > a または a > k

５．根号を外す処理の罠

〇　y = √x ⇔　y² = x かつ y ≧ 0　①

〇　y > √x ⇔　 y² > x かつ x ≧ 0 かつ y > 0　②

〇　y < √x ⇔　 y² < x または [ x ≧ 0 かつ y < 0 ]　③

①から③は旧帝大以上の難関大受験生は絶対に知っておかねばなりません。丸暗記するのではなく忘れたときには図を書いて再現できるようにしておきましょう。

まとめ

このような「基礎中の基礎」が分かっていないと、少しややこしい問題になると全く歯が立たなくなります。逆に言えばかなりややこしい問題でも慌てずに基本通りに処理できます。

たとえば次のような問題が出題された場合、基礎が分かっていないと慌ててしまいそうですね。場合分けも超絶面倒そうですね！でも基本どうりに慌てずに処理していけば難なく、同値性を失わずに絶対値記号を外せます。

　 | x² – 1| + | x – 2 | +x – 3 < 0　

⇔ | x² – 1| < – | x – 2 | – x + 3

⇔ | x – 2 | + x – 3 < x² – 1 < – | x – 2 | – x + 3

⇔ | x – 2 | < x² – x + 2 ^ | x – 2 | < -x² – x + 4

⇔ -x² + x – 2 < x – 2 < x² – x + 2 ^ x² + x – 4 < x – 2 < -x² – x + 4 　

このように同値性を失わずにきれいに絶対値記号が外れました！

上の公式は丸暗記するのではなく、忘れたときは図を描いて自分で導けるようにしておくなど、完璧に自分のものにしましょう。基礎は「簡単なこと」ではなく「極めるべき超重要なこと」です。

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