数学 軌跡の考え方

こんにちは！大津石山校オーナーの中川です。

今回は数学オリンピックにも出場した京大理学部数学科の板橋コーチに 「数学 軌跡の考え方」を紹介してもらいます。よかったら読んでくださいね！

【数学解説】軌跡の考え方

はじめに

今回の記事では軌跡の考え方を掘り下げていきたいと思います。早速ですが例題をあげます。

例題 1. 実数 t が 0 ≦ t ≦ 1 を動くとき，次を満たす (x, y) が描く曲線を求めよ：

簡単な問題ですが，解答としては t = x + 1 より t を消去して 放物線 y = (x + 1)2 の -1 ≦ x ≦ 0 の部分となります。

ですが，今回話題にしたいのは t を消去して得られたものをそのまま答えとしてよいのか？ということです。 次の例題を見てみましょう。

例題 2. 実数 s, t が s2 + t2 ≦ 1 を満たしながら動くとき， 次を満たす (x, y) が動く範囲を求めよ：

{x = s + t
y = st
        

この場合，単に文字消去だけでは不十分な場合があることがわかります。 例題 1 と例題 2 の違いを明確にすることが本記事のテーマとなります。

軌跡の考え方～存在条件に帰着させる～

具体的な4つの点が C に含まれるかを考えましたが、一般の点 (a, b) が C に含まれるかを考えてみます。

a = t - 1, b = t2, 0 ≦ t ≦ 1 を満たす t が存在する場合に (a, b) は C に含まれます。このようにして、C に含まれる点をすべて集めたものが求める曲線です。 つまり、以下の条件を調べることが本問題の本質となります：

(a, b) が条件を満たす ⇔ t = a + 1, b = t2, 0 ≦ t ≦ 1 を満たす

この条件は次のように変形できます：

(a, b) が条件を満たす ⇔ b = (a + 1)2, 0 ≦ a + 1 ≦ 1 ⇔ b = (a + 1)2, -1 ≦ a ≦ 0

この同値変形が成り立つ理由は次の通りです：

• 「⇒」は、t = a + 1 と表せる場合、t を代入した式が当然成り立つからです。
• 「⇐」は、t = a + 1 と定めると条件を満たす t が得られるからです。

このような変形は「代入の原理」と呼ばれ、存在条件を考える上で基本的な道具となります。 この原理によって、変数 t を消去しても正しい答えを導ける根拠が得られるのです。

以上の変形によって、求める軌跡は次のようにまとめられます：

求める軌跡は y = (x + 1)2, -1 ≦ x ≦ 0

例題 2 の検討

次に例題 2 を考えます。例題 2 で描かれる曲線を D とし、次の条件で表します：

(x, y) が D に含まれる ⇔ s2 + t2 ≦ 1, x = s + t, y = st を満たす実数 s, t が存在する

初めの条件式 s2 + t2 ≦ 1 を用いて s, t を消去したいですが、 ここで例題 1 との違いが現れます。

⇔ x2 - 2y ≦ 1, x = s + t, y = st を満たす実数 s, t が存在する

例題 1 では t を明確な式で表せましたが、例題 2 では s や t が (x, y) の式として表せないため、存在条件を消去することができません。

二次方程式を用いた解法

この問題を解決するために二次方程式の理論を用います：

x = s + t, y = st を満たす ⇔ k についての方程式 k2 - xk + y = 0 が実数解を持つ ⇔ 判別式 Δ ≧ 0

これにより、求める範囲は次のようになります：

x2 - 4y ≦ 1

まとめ

変数の存在条件を見直すことで、初めに述べた問題点を解決することができました。 このアプローチは軌跡の問題を解く際に非常に有用です。